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결국 0의 0제곱은 부정이 됩니다.

이글은 저널 '수학사랑' 제53호(2005년 11/12월호)에 실렸던 저의 글을 조금 고친 것입니다.

따짐이: 선생님, 라디안(호도법)을 사용하는 이유가 뭐죠?

선생님: 왜? 불만이냐?

따짐이: 그냥 단위를 고치는 건데 너무 복잡한 것 아닐까요?  예를 들어 km 단위로 나타나 있는 값을 m 단위로 고치려면  1000 이라는 간단한 수만 곱하면 되죠.  넓이 단위인 ‘평’ 을 [0]#wh4/5`5.6/11,[1]{{m}^{2}}로 고치는 것도 3.305785 라는 유리수를 곱하면 되고요.  그런데 도(°) 단위로 나타나 있는 값을 라디안으로 고치려면[0]#wh4/7.8`8.2/11,[1]{{pi}/{180}}이라는 무리수를 곱해야 하잖아요.  대체 왜 이런 짓을 하는지 모르겠어요.  너무 수가 커져서 그러는 것이라면 90°를 1로 하는 단위를 쓰는 것이 낫지 않을까요?

선생님: 그래서 90°를 100으로 보는 그레이디언트(grad)라는 단위도 있어.  그레이디언트로 나타낸 값을 100으로 나누면 네가 원하는 것처럼 90° 가 1 로 나타나게 되지.  하지만 라디안은 단순히 값을 나타내는 수를 적당한 크기로 조절하려는 목적으로 도입한 것이 아니기 때문에 무리수가 등장하는 거야.

따짐이: 호의 길이나 부채꼴의 넓이 같은 것을 나타낼 때 편리하긴 하더군요.  중심각이[0]#wh4/4`4.3/11,[1]{alpha`deg}라면 호의 길이는  2×(반지름의 길이)×[0]#wh4/7.8`8.2/11,[1]{{alpha}/{360}}가 되는데, 중심각이[0]#wh4/3`4.3/11,[1]{theta}rad 이면 (호의 길이) = (반지름의 길이)×[0]#wh4/3`4.3/11,[1]{theta} 가 되어 훨씬 간단하죠.  하지만 설마 이것 때문에 호도법을 도입한 것은 아니죠?

선생님: 물론 아니지만, 그것과 관련이 없다고도 할 수 없지.

따짐이: 흠.  뭔가 이유가 따로 있긴 있군요?

선생님: 수학에서 이런 귀찮은 환산까지 해 가며 수천 년 동안 쓰던 육십분법이 있는데도 호도법을 도입할 때에는 그럴 만한 가치가 있기 때문이지.

따짐이: 물론 그렇겠죠.  그런데 그게 뭐냐는 거죠.

선생님: 삼각함수.

따짐이: 삼각함수?  삼각함수는 육십분법으로도 충분히...

선생님: 물론 일정한 각을 입력하면 일정한 값(비율)을 내놓는 역할만 할 때는 육십분법으로도 충분하지.  그리고 그 때는 대개 삼각함수라고 안 부르고 ‘삼각비’ 라고 불러.  10-나 단계(고등학교 1학년) 교과서에 있는 사인법칙, 코사인법칙, 삼각형의 넓이 구하기 등에서 사용되는 것은 삼각함수라기보다는 삼각비이지.  이 삼각비가 항해나 측량 등에 사용되어 온 바로 그것이야.

따짐이: 사인법칙, 코사인법칙, 항해나 측량, ... 이런 것들이 아니라면, 그 ‘삼각함수’는 대체 어디에 이용된다는 것이며, 거기라고 해서 라디안이어야 하는 이유는 무엇일까요?

선생님: 삼각함수를 미분하거나 적분해야 할 때가 있어.  아니, 미적분이라는 분야에서 삼각함수가 차지하는 중요성은 매우 크다고 할 수 있지.

따짐이: 삼각함수 미분이라면, 예를 들어[0]#wh4/9.1`4.3/11,[1]{sin x}를 미분하면[0]#wh4/10.6`4.3/11,[1]{cos x} 가 되고 그러는 것 같던데...

선생님: 그래. 그런데 삼각함수의 미적분의 출발은[0]#wh4/22.7`9/11,[1]{lim_{x`arrow`0}`{sin x}/{x}`equal`1} 이라는 극한값 계산이야.  다시 말해 [0]#wh4/2.8`4.3/11,[1]{x}가 아주 작은 수일 때[0]#wh4/9.1`4.3/11,[1]{sin x} 는[0]#wh4/2.8`4.3/11,[1]{x} 와 거의 같은 값이 된다는 사실이지.

따짐이: 잠깐![0]#wh4/9.1`4.3/11,[1]{sin x} 와 [0]#wh4/2.8`4.3/11,[1]{x}를 비교한다? [0]#wh4/9.1`4.3/11,[1]{sin x} 는 비율이고 [0]#wh4/2.8`4.3/11,[1]{x}는 각인데?

선생님: 그게 바로 핵심이야.  미적분에서는 그런 비교를 전제로 하여 출발해야 한다는 것이지.

따짐이: 좋아요.  그럼,[0]#wh4/9.1`4.3/11,[1]{sin x}와  [0]#wh4/2.8`4.3/11,[1]{x} 를 비교하기 위해서는...  sin 함수 안에 있는[0]#wh4/2.8`4.3/11,[1]{x}는 각이어야 하고 sin 함수 밖에 있는[0]#wh4/2.8`4.3/11,[1]{x}는 단위 없는 수여야 하겠고..., sin 밖에 있는[0]#wh4/2.8`4.3/11,[1]{x}의 단위는 라디안일 때 한해서 그냥 떼어 버린다는 것인가요? 다시 말해 위의 극한은 [0]#wh4/32`9/11,[1]{lim_{x`arrow`0}`{sin(x rad) }/{x}`equal`1}이다. 이렇게 된다는 말씀이죠?

선생님: 그렇게도 볼 수 있지.  예를 들어  [0]#wh4/2.8`4.3/11,[1]{x}rad 라는 각을[0]#wh4/2.8`4.3/11,[1]{x} 라는 실수와 동일시한다, 다시 말해서 삼각함수 안에 있는 실수는 사실은 라디안이라는 단위가 생략된 것이라고 말이야.

따짐이: 어? 그런 게 아니라는 말인가요?

선생님: 임의로 단위를 붙였다 떼었다 하는 것이 뭔가 꺼림칙한데다가, 각과는 상관도 없는 곳에서 삼각함수를 적용하여 유용한 결과가 얻어지게 되자 삼각함수에 들어가는 값이 각이어야 한다는 고정관념이 깨지기 시작했지.  그래서 지금은 삼각함수는 이차함수나 지수함수 같은 것과 마찬가지로 실수에서 실수로 가는 함수로 취급하고 있는 거야.  따라서 sin 안에 들어가는 것은 각인데 rad 단위를 생략한 것이 아니라 그냥 실수라는 것이지.  단지[0]#wh4/9.1`4.3/11,[1]{sin x}의 값은,[0]#wh4/2.8`4.3/11,[1]{x} 를 단위가 라디안인 각으로 보고 전에 사용하던 ‘삼각비’ 인 sin 에 넣은 값과 같은 것으로 정의되는 것뿐이야.  새로운 sin을 new_sin, 전에 사용하던 삼각비인 sin을 old_sin 이라고 부른다면 new_sin(x) = old_sin(x rad) 라고 정의되는 거지.

따짐이: 음... 미적분 때문에 sin x 의 x 가 실수가 되는 것이 여러 가지로 편리하고 바람직한 일이었다 이 말씀인 것 같은데요, 그렇다 하더라도 왜 꼭 라디안이죠?  그냥 육십분법으로 했다면?  다시 말해서 new_sin(x) = old_sin(x°) 으로 정의하면 안 되나요?

선생님: 안될 건 없지.  아마 처음에는 그렇게 하려고 했겠지.  하지만 그 경우에는[0]#wh4/27.7`9/11,[1]{lim_{x`arrow`0}`{sin x}/{x}`equal`{pi}/{180}}가 되면서, 예를 들어 sin x를 미분하면 cos x 가 되는 것이 아니라[0]#wh4/18.1`8.2/11,[1]{{pi}/{180}cos x}가 되는 등 삼각함수의 미적분이 아주 번거로워졌을 거야.

따짐이: 그럼, 라디안은 삼각함수의 미적분 공식을 편리하게 나타내기 위해 도입한 것이라는 말씀?

선생님: 그래.  원래 그것이 이유였어.  그러다 보니까 여러 가지로 편리하고 합리적이라는 것이 밝혀졌고 말이야.  사실 육십분법의 도(°)는 완전히 임의로 정한 단위인데 비해, 라디안은 그 크기의 각을 중심각으로 하는 호의 길이와 반지름의 길이의 비로 정의되니까 아무래도 수학적으로 의미가 있겠지.

따짐이: 라디안은 각을 실수로 나타내기 위해서 도입한 것이라는 말을 인터넷에서 본 적이 있는데요.  그게 맞는 말일까요?

선생님: 별로 맞는 말 같지는 않은데?  그 말은 삼각함수의 정의역을 실수의 집합으로 만들기 위해서라는 말인 것 같은데, 네가 지적했다시피 그것은 육십분법이나 그레이디언트 등 다른 단위를 통해서도 할 수 있지.  다만 라디안을 통해서 하는 것이 가장 편리하고 합리적이어서 선택된 것이야.

따짐이: 미적분이 뭐길래 상식적으로 이해하기 힘든 단위까지 만들어가며 이런 일들을 벌이는 건지...

선생님: 그것이 좀 문제이긴 해.  학문적으로는 그럴 만한 가치가 충분히 있기 때문에 하는 일인데, 그 때문에 일반 사람들이 수학이나 물리 같은 학문에서 등을 돌리는 결과가 되는 일이 종종 있으니 말이야.  하지만, 그런 학문들을 공부하는 학생들은 그렇게 생각하면 안 되겠지?  라디안을 상식적으로 이해하기는 어렵지만, 그것을 이해함으로써 눈앞에 펼쳐질 새로운 세계를 생각할 줄 안다면 말이야.

-현 도봉고등학교 수학교사 송영준님-   출처 : 수학사랑

2000년 5월 클레이 수학 연구소(CMI)는 파리에서 공개적으로 열린 회견을 통하여 일곱 개의 미해결 수학 문제를 제시하고 각각에 100만 달러의 현상금을 내걸었다.
그 문제들은 여러 나라의 수학자들로 이루어진 선정 위원회가 오늘날 수학에서 가장 중요하고 여려운 문제라고 선정한 것들이다. 현상 공모 발표는 꽤 큰 반향을 불러일으켰고, 여러 주 동안 언론의 관심을 받았다.

총 700만 달러 - 문제당 100만 달러이며 공모기간은 무제한이다 - 의 상금은 미국인 부호 랜던 클레이에게서 나왔다. 1년 전 그는 비영리 단체인 클레이 수학 연구소(CMI)를 그의 고향인 메사추세스 주 케임브리지에 설립했다. 설립목적은 수학 연구를 장려하고 지원하는 것이다. CMI는 파리에서 열린 발표회를 주관했으며, 밀레니엄 현상 공모의 행정업무를 맡을 것이다.

일 곱 개의 문제는 CMI 과학 자문회가 선발한 국제적으로 유명한 수학자들로 구성되고 CMI의 재정 지원 책임자인 자페가 지휘하는 소규모 선정 위원회에 의해서 수 개월에 걸쳐 선정되었다. 미국 수학회 회장을 역임한 바 있는 자페는 현재 하버드 대학 클레이 수학 교수직을 맡고 있다. 선정 위원회는 선택된 일곱 개의 문제가 오늘날 수학에서 가장 중요한 미해결 문제라는 것에 합의했다. 대부분의 수학자들도 동의할 것이다. 그 문제들은 수학 주요 분야의 핵심에 있고, 전 세계 최고 수학자들의 노력을 무색하게 한 문제들이다.

문제 선정에 참여한 전문가들 중에 앤드루 외일스 경이 있다. 그는 6개월 전 페르마의 마지막 정리를 증명한 장본인이다. 만일 그가 없었다면 330년이다 된 페르마의 마지막 정리 증명 문제 또한 밀레니엄 문제에 포함되었을 것이다. 와일스와 함께 선정에 참여한 전문가로는 자페 외에 아티야와 테이트 - 이들이 파레에서 문제를 발표했다 - 프랑스의 알랭 콘느, 미국의 에드워드 위튼이 있다.

이상하게 여겨질지도 모르지만 클레이는 수학자가 아니다. 그는 하버드 대학원에서 영어를 전공했다. 하지만 그는 모교의 수학 교수직 재정을 지원하며, 클레이 수학 연구소를 지원하고(그가 현재까지 클레이 연구소에 기부한 금액은 9000만 달러이다), 이제는 밀레니엄 현상 공무까지 지원한다. 그가 이렇게 발벗고 나서는 이유는, 중요한 분야에 주어지는 공공 재정이 너무 낮다고 여기기 때문이라고 그난 말한다. 대규모 현상 공모를 주최하고 이를 알리는 발표회에 세계 언론을 끌어들임으로써, 클레이는 밀레니엄 문제들 - 또한 수학 일반 - 이 국제적인 대중매체의 주목을 받도록 만들었다. 그런데 왜 파리에서 발표회를 연 것일까?

역사가 있다. 정확히 100년 전인 1900년 파리에서 비슷한 사건이 있었다. 당시 파리에서는 제 2차 국제 수학자 회의가 열렸다. 8월 8일 당시 수학계를 이끌던 독일 수학자 힐베리트는 초청 강연에서 20세기 수학을 위한 안건들을 제시했다. 강연에서 그는 그가 생각하기에 가장 중요한 미해결 문제 스물세 개를 나열했다. 소위 "힐베르트 문제들"이라고 불리게 된 그 문제들은 수학자들을 미래로 이끄는 횃불이였다.

힐베르트가 제시한 문제들 중 소수는 그가 예상했던 것보다 휠씬 쉬웠고 곧바로 해결되었다. 또 일부 문제들은 정확한 대답이 불가능할 만큼 불명료했다. 그러나 대부분위 문제들은 매우 난해한 수학 문제라는 것이 밝혀졌다. 이 "참된" 힐베르트 문제들 중 하나를 분 사람은 수학자 사회에서 노벨상에 결코 뒤지지 않는 명성을 얻었다. 문제를 푼 수학자들은 노벨상 수상자처럼 성취의 보상을 얻기 위해서 여러 해를 기다릴 필요가 없었다. 해답이 옳다는 것에 수학자 사횔가 동의하는 순간 영광과 포상이 주어졌다.

2000년까지 참된 힐베르트 문제드릉ㄴ 하나만 제외하고 모두 해결되었다. 수학자들에게 새로운 과제를 부여할 때가 온 것이다. 두번째 밀레니엄을 마감하는 시점에서 최대의 문제들은 무엇일까? 모든 사람들이 수학계의 에베레스트 산이라고 인정한 미해결 문제들은 어떤 것들일까?

파 리 발표회는 역사를 재현하려는 노력이기도 하지만, 전적으로 그런 것은 아니다. 와일스가 지적했듯이, 밀레니엄 문제를 발표하는 CMI의 목표는 힐베르트의 목표와 약간 다르다. "힐베르트는 그의 문제들을 통해서 수학에 지침을 주려고 했다"라고 와일스는 말한다. "우리는 중요한 미해결 문제들을 지적하려고 할 뿐이다. 수학의 기획 전반을 대변할 문제를 골라내기는 어렵다." 다시 말해서, 밀레니엄 문제들은 수학이 지금 어디로 가고 있는지를 말해 주기에는 부족할 수도 있다. 그러나 그 문제들은 현재 수학의 최전방이 어디에 있는지를 보여주는 훌륭한 정지화면이다.

그렇다면 밀레니엄 문제들은 어떤 것들일까? 오늘날의 수학은 상당한 배경지식 없이는 의미있게 전달하기가 불가능한 지경에 이르렀다. 따라서 일단 문제들의 명칭을 말하고 그 문제들이 무엇과 관련되는지를 간략하게 이야기하겠다.

*1. P vs NP Problem (P 대 NP 문제)

; 이 문제는 밀레니엄 문제들 중에서 유일하게 컴퓨터와 관련된 문제이다. 많은 사람들은 이를 의아하게 여길 것이다. "요새는 수학 연구를 대부분 컴퓨터로 하잖아?"라고 반문할 것이다. 정말 그렇까? 아니다. 실상은 그렇지 않다. 물론 맞는 말이기도 하다. 대부분의 수치 계산은 컴퓨터에 의해서 수행된다. 그러나 수치 계산은 수학의 작은 부분에 불과하며 핵심적인 부분이 아니다.
전 자 컴퓨터는 수학에서 나왔지만 - 컴퓨터를 위해서 위해서 필요한 수학의 마지막 단계는 최초의 컴퓨터가 제작되기 수년 전인 1930년대에 완성되었다 - 지금까지 컴퓨터 세계에서 발생한 중요한 - 세상에서 가장 중요하다고 인정할만한 - 수학적 문제는 단 두 개에 불과하다. 그 두 문제는 계산기계라기보다는 개념적 처리과정으로 이해된 컴퓨터와 관련된다. 물론 이런 이해가 실제 계산에 대해서 중요한 함축을 가질 가능성은 열려 있다. 두 문제 중 하나는 헬베르트의 1900년 문제 목록에 들어있다. 그 문제 - 특성한 방정식들은 컴퓨터로 풀 수 없음을 증명하라는 문제 - 는 1970년에 해결되었다.

다른 한 문제는 더 최근에 제기되었다. 그 문제는 컴퓨터가 얼마나 계산과제들을 효율적으로 해결할 수 있는지와 관련된다. 컴퓨터 과학자들은 계산과제들을 두 개의 주요 범위로 분류한다. P형 과제는 컴퓨터를 통해서 효율적으로 해결할 수 있다. E형 과제는 컴퓨터로 완수할려면 100만년 이상이 걸릴 수도 있다. 안타깝게도 공업이나 상업에서 발생하는 주요 계산과제들은 대부분 세번째 문제인 NP형에 속한다.NP형은 P형과 E형의 중간인 것처럼 보인다. 정말 그럴까? NP형 과제가 실은 변형된 P형 과제인 것은 아닐까? 대부분의 전문가들은 NP와 P가 다르다고 믿는다.(즉, NP형 계산과제는 P형 계산과제와 다르다고 믿는거죠). 그러나 30년에 걸친 노력에도 불구하고 NP가 P와 같은지 여부는 증명되지 않았다. 이 문제의 해결은 공업, 상업, 그리고 인터넷을 비롯한 전자통신에 커다란 영향을 끼칠 것이다.


*2. Poincaré Conjecture (푸앵카레 추측)

; 거의 한 세기 전 프랑스 수학자 푸앵카레가 처음 제시한 이 문제는 다음과 같은 간단해 보이는 질문에서 시작된다 : 사과와 도넛을 어떻게 구별할 수 있을까? 정말이지 이 질문은 100만 달러의 상금과는 거리가 먼 질문으로 보인다. 하지만 이 질문은 어렵다. 왜냐하면 푸앵카레가 보다 일반적인 경우들에 적용될 수 있는 수학적 해답을 요구했기 때문이다. 그 요구 때문에, 한 입 먹어보면 알지 않느냐는 자명한 해답들은 제거된다. 푸앵카레 자신이 제시한 해답을 알아보자. 만일 당신이 사과 표면에 고무 밴드를 늘여놓았다면, 당신은 그 밴드를 천천히 움직여서 한 점이 되도록 축소시킬 수 있다. 고무 밴드를 자를 필요도 없고, 표면을 떠날 필요도 없다. 반면에 도넛 둘레를 한 바퀴 감도록 고무 밴드를 늘여놓았다고 해보자. 이 경우에는 고무 밴드나 도넛을 자르지 않는 한, 고무 밴드를 한 점으로 축소시킬 방법이 없다. 축소되는 밴드를 이용한 이 구분법을 사과와 도넛의 5차원 변양태에서도 적용할 수 있을까? 푸앵카레가 묻는 질문이 바로 이것이다. 놀랍게도 아직 아무도 이 질문에 답하지 못했다. 푸앵카레 추측에 따르면, 고무 밴드 발상을 이용해서 4차원 사과를 식별할 수 있다.

이 문제는 현대 수학에서 가장 흥미로은 분양들 중 하나인 위상학의 핵심에 놓여 있다. 위상학은 그 자체로 흥미롭고 때로는 기발한 발상으로 수학적 이성인들을 사로잡을 뿐만 아니라 - 예를 들면 위상학은 도넛과 커프 잔이 심층적이고 그본적인 관점에서는 동일하다고 말한다 - 수학의 여러 분여들과 관계된다. 위상학의 발전은 컴퓨터 칩을 비롯한 전자부품의 설계와 생산, 운송, 뇌 연구, 심지어 영화산업에도 영향을 끼친다.


*3. Navier-Stokes Equation(내비어-스톡스 방정식)

; 내비어-스톡스 방정식들은 배의 몸통 주위를 흐르는 물이나 비행기 날개 우이로 흐르는 공기 같은 유체와 기체의 흐름을 기술한다. 그 방정식들은 수학자들이 말하는 이른바 편미분방정식이다. 과학이나 공학을 전공하는 대학생들은 의례적으로 편미분 방정식의 해법을 배운다. 내비어-스톡스 방정식들은 외관상 대학 미적분학 교과서에나오는 편미분방정식 연습 문제와 다르지 않아 보인다. 그러나 외관은 기만일 수 있다. 오늘날까지 그 누구도 내비어-스톡스 방정식의 해의 공식을 찾을 단서조차 발견하지 못했다 - 그런 공식의 존재 여부조차 밝혀지지 않았다.

이 실패에 아랑곳하지 않고 해양공학자들은 효율적인 배를 설계하고, 항공공학자들은 우수한 비행기를 설계한다. 내비어-스톡스 방정식을 푸는(2차방정식 해의 공식과 유사한) 일반 공식은 없지만, 컴퓨터를 이용하여 특정 형태의 방정식들에 대한 근사적인 해를 구하는 것은 가능하기 때문이다. 양-밀스 문제와 마찬가지로 내비어-스톡스 문제 역시 수학이 다른 분야를 따라잡을 것을 요구한다. 이 문제의 경우에는 공학자들이 이미 하고 있는 일을 수학이 따라잡아야 한다.

" 따라잡는다"는 표현이 그릇된 인상을 줄지도 모르겠다. 뒤쳐지기 싫어하는 수학자들의 자존심이 관건이라는 인상 말이다. 그런 인상을 가진다면, 과학적 지식이 발전해고는 방식을 오해한 것이다. 수학은 본성상 추상적이기 때문에, 현상을 수학적으로 이해한다는 것은 일반적으로 가장 깊고 확실하게 이해한다는 것이다. 또한 무엇인가를 더 깊게 이해하면, 그것을 더 잘 이용할 수 있다. 질량 간극 가설의 증명이 물리학에 획기적인 발전을 가져올 것과 마찬가지로, 내비어-스톡스 방정식 풀이는 해양 및 항공공학의 발전을 가져올 것이 분명하다.


4. Riemann Hypothesis(리만 가설)

; 이 문제는 1900년 힐베르트가 제시한 문제들 중 미해결로 남아 있는 유일한 문제이다. 어떤 특정한 방정식의 가능한 해들과 관련된 이 기묘한 형태의 문제가 수학의 미해결 문제들 중 가장 중요한 문제라는 것에 전 세계 수학자 대부분이 동의한다.

이 문제는 1859년 독일 수학자 리만에 의해서 처음 제기되었다. 리만은 다음과 같은 오랜 수학적 질문에 대한 답을 추구하고 있었다:소수들이 무엇인가 패턴을 가지고 있을까? 기원전 350년경 유명한 그리스 수학자 유클리드는 소수가 영원히 계속된다는 것을, 즉 무한히 많이 소수가 존재한다는 것을 증명했다. 더 나아가 실제로 소수를 나열해보면, 수가 커질수록 소수가 점점 '엷어져서' 드물게만 나타나는 듯이 보인다. 하지만 소수에 관해서 이 이상의 이야기를 할 수 있을까? 사실상 할 수 있다. 리만 가설이 증명된다면, 소수와 소수의 분포에 관한 우리의 지식이 발전할 것이다. 또한 그 증명은 수학자들의 호기심을 만족시키는 것 이상의 귀결을 가져올 것이다. 그 증명은 소수들의 패턴을 휠씬 넘어선 수학적 귀결들을 가질 뿐 아니라, 물리학과 현대 통신기술에도 응용될 것이다.


*. Hodge Conjecture (호지 추측- 진짜 골때리죠ㅋ)

; 이 문제는 현재 위상학에 결여된 또 하나의 조각이다. 이 일반적인 문제는 어떻게 단순한 대상들로부터 복잡한 수학적 대상을 구성할 수 있는지와 관련된다. 이 문제는 아마도 밀레니엄 문제들 중에서 일반인이 이해하기가 가장 어려운 문제일 것이다. 기반에 있는 직관이 다른 문제들에 의해 덜 분명하거나, 다른 문제들보다 더 난해하기 때문이 아니다. 오히려 일반은이 겸험하게 될 어려움은 호지 추측이 특정한 종류의 추상적 대상들을 분류하기 위해서 수학자들이 사용하는 기법과 관련되기 때문에 발생한다. 호지 추측은 그 분류법의 심층에서 나오며 추상 수준이 높다. 그 추상 수준에 도달하는 유일한 길은 점점 높아지는 추상 수준들을 거쳐 올라가는 길이다.
호지 추측을 향한 길은 20세기 전반기에 수학자들이 복잡한 대상들의 모양을 탐구하는 강력한 방법을 발견하면서 열렸다. 그 방법의 기반에 있는 발상은 주어진 대상의 모양을 단순한 기하학적 벽돌들을 짜맞춤으로서 어느 정도까지 근사시킬 수 있는지를 묻는 것이었다. 그 방법은 매우 유용했고 여러 방식으로 일반화되었다. 수학자들은 그 방버들을 발전히켜 강력한 기법들을 만들어냈다, 결국 많은 다양한 종류의 대상들을 나열한 목록에 도달했다. 하지만 불행하게도 기법들이 일반화 되는 과정에서 기하학적 근원이 흐려졌다, 수학자들은 기하학적 해석이 전혀 없는 대상들도 목록에 포함시켜야 했다. 호지 추측은 중요한 대상들의 집합(투사 대수 다양체projective algebraic varieties라고 불린다)에 대해서는, 호지 회로라고 불리는 조각들이 기하학적 조각들(대수 회로라고 불립니다)의 조합이라고 주장한다.


6. Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture(버츠와 스위너톤-다이어 추측)

:이 문제에서 우리는 다시 리만 가설에서와 마찬가지로 일반적이 수학 영역으로 돌아오게 된다. 고대 그리스 시대 이래 수학자들은 다음과 같은 유형의 대수 방정식의 모든 정수해를 기술하는 문제를 놓고 씨름해왔다.
x² + y² = z²
이 특정한 방정식에 대해서는 유클리드가 완벽한 해답을 제시했다 - 즉 모든 해들을 산출하는 공식을 제시했다. 1944년 와일스는 2보다 큰 임의의 지수n에 대해서 방정식
x^n + y^n = z^n
이 0이 아닌 정수해를 가지지 않음을 증명했다.(이 결론이 페르마의 마지막 정리이다). 그러나 더 복잡한 방적식들에 대해서는 정수해가 있는지, 혹은 어떤 정수해가 있는지를 밝혀내기가 매우 어렵다. 버치와 스위너톤-다이어 추측은 그 난해한 방정식들 중 한 유형에 대해서 가능한 해들에 관한 정보를 제시한다.

이 문제는 리만 가설과 관련이 있으며, 이 문제가 해결된다면 소수에 대한 우리의 전반적인 이해에 도움이 될 것이다. 이 문제의 해결이 리만 가설 증명처럼 수학 이외의 영역에도 영향을 미칠지 여부는 불분명하다. 버치와 스위너톤-다이어 추측 증명은 수학자에게만 국한된 관심사로 판명될지도 모른다.

그러나 이 문제를 비롯한 많은 수학 문제가 "실용성이 없다"고 판정하는 것은 어리석은 일이다. 물론 "순수 수학"의 추상적 문제들을 연구하는 수학자드릉ㄴ 대개 어떤 실용적인 귀결에서 동기를 얻기보다는 지적 호기심에서 동기를 얻는다. 그러나 순수 수학에서의 발견이 중요한 실용적 귀결을 같는다는 사실은 역사 속에서 누차 입증되었다.

뿐만 아니라 한 문제를 풀기 위해서 수학자들이 개발한 기법들이 전혀 다른 문제들에 응용될 수 있다는 사실이 종종 입증되었다. 와일스가 페르마의 마지막 정리를 증명한 것이 전형적인 그런 사례이다. 이와 유사하게 버치와 스위너톤-다이어 추측의 증명 역시 다른 용도가 발견될 새로운 발상들을 포함할 것이 거의 확실하다.


7. Yang-Mills and Mass Gap(양-밀스 이론과 질량 간극 가설)

; 수학의 새로운 발전을 위한 계기는 상당 부분 과학 특히 물리학으로부터 주어진다. 예를 들면 수학자 뉴턴과 라이프니츠가 17세기에 미적분학을 발명한 동기는 물리학을 위해서였다. 미적분학은 연속 운동을 수학적으로 엄밀하게 기술하는 방법을 제공함으로써 과학에 혁명을 일으켰다. 뉴턴과 라이프니츠의 방법은 유효했다. 그러나 미적분학의 기반을 이루는 수학이 제대로 완성되기까지는 약 250년이 더 필요했다. 지난 반세기 정도에 걸쳐서 개발된 물리학 이론과 관련해서 유사한 상황이 벌어지고 있다. 이 일곱 번째 밀레니엄 문제는 수학자들에게 물리학을 따라잡을 것을 요구한다.

양-밀스 바정식들은 양자물리학에서 나왔다. 그 방정식들은 지금으로부터 거의 50년 전에 물리학자 양전닝과 로버트 밀스가 중력을 제외한 자연의 힘들을 기술하기 위해서 정식화했다. 그 방정식들은 훌륭한 성과를 거두었다. 방정식으로부터 도출된 예측들은 전 세계 실험실에서 관찰된 입자들을 설명한다. 그러나 실용적으로 효율적임에도 불구하고 양-밀스 이론은 아직 수학적으로 완성되지 않았다. 일곱 번째 밀레니엄 문제가 요구하는 것 중 하나는 , 그 이론을 공리로부터 출발해서 수하적으로 전개하라는 것이다. 요구되는 수학적 이론은 실험실에서 관찰된 여러 조건에 부합해야 할 것이다. 특히 그 이론은 양-밀스 방적식들의 해라고 상정된 것들과 관련된 "질량 간극 가설"을 (수학적으로)입증해야 한다. 대부분의 물리학자들은 이 가설을 받아들여 전자가 질량을 가지는 이유를 설명한다. 질량 간극 가설을 증명할 수 있는지 여부는 양-밀스 이론을 올바르게 수학적으로 전개했는지 여부를 판가름할 수 있는 좋은 시험기준이라고 여겨진다. 그들 역시 전자가 왜 질량을 가지는지 엄밀하게 설명하지 못하고 있다. 다만 그렇가는 것을 관찰했을 뿐이다.

<이때까지 알려진 메르센 소수 목록>

   , 로 두면..... 알려진 소수 p에 대한 메르센 소수 의 목록이다. (따라서 는완전수이다)

#	p	의 자리수	의 자리수	발견년도	발견자
1	2	1	1	----	----
2	3	1	2	----	----
3	5	2	3	----	----
4	7	3	4	----	----
5	13	4	8	1456	anonymous
6	17	6	10	1588	Cataldi
7	19	6	12	1588	Cataldi
8	31	10	19	1772	Euler
9	61	19	37	1883	Pervushin
10	89	27	54	1911	Powers
11	107	33	65	1914	Powers
12	127	39	77	1876	Lucas
13	521	157	314	1952	Robinson
14	607	183	366	1952	Robinson
15	1279	386	770	1952	Robinson
16	2203	664	1327	1952	Robinson
17	2281	687	1373	1952	Robinson
18	3217	969	1937	1957	Riesel
19	4253	1281	2561	1961	Hurwitz
20	4423	1332	2663	1961	Hurwitz
21	9689	2917	5834	1963	Gillies
22	9941	2993	5985	1963	Gillies
23	11213	3376	6751	1963	Gillies
24	19937	6002	12003	1971	Tuckerman
25	21701	6533	13066	1978	Noll & Nickel
26	23209	6987	13973	1979	Noll
27	44497	13395	26790	1979	Nelson & Slowinski
28	86243	25962	51924	1982	Slowinski
29	110503	33265	66530	1988	Colquitt & Welsh
30	132049	39751	79502	1983	Slowinski
31	216091	65050	130100	1985	Slowinski
32	756839	227832	455663	1992	Slowinski & Gage
33	859433	258716	517430	1994	Slowinski & Gage
34	1257787	378632	757263	1996	Slowinski & Gage
35	1398269	420921	841842	1996	Armengaud, Woltman, et. al. (GIMPS)
36	2976221	895932	1791864	1997	Spence, Woltman,et. al. (GIMPS)
37	3021377	909526	1819050	1998	Clarkson, Woltman, Kurowskiet. al. (GIMPS, PrimeNet)
??	6972593	2098960	4197919	1999	Hajratwala, Woltman, Kurowskiet. al. (GIMPS, PrimeNet)
??	13466917	4053496	8107892	2001	Cameron, Woltman, Kurowskiet. al. (GIMPS, PrimeNet)

  Lucas-Lehmer 테스트와 최근의 역사

메르센 소수(그리고 그에 따른 완전수)는 다음에 오는 정리를 이용해 알 수 있다.

Lucas-Lehmer 테스트: 이고, S(1)=4 에 대해서, p가 홀수일 때, 이 S(p-1)을 나눌때만 이 메르센 소수가 된다.

이 테스트 이론은 1870년 후반 루카스Lucas에 의해 만들어졌고, 레머Lehmer에 의해 간단한 형태로 만들어졌다. 시간을 아끼기 위해 에 대한 수열 S(n)을 나눈 나머지 값이 계산된다. 이 테스트는 이진법 컴퓨터에 이상적인데, 에 의해 나눠진 값이 순환과 더하기를 통해 계산되기 때문이다.

 1811년 발로우Peter Barlow는 그의 저서 Theory of number에서 이 발견된  제일 큰 완전수라고 말했다; 이것들은 단지 유용한 것이 아닌 호기심이었기 때문에 어느 누구도 이보다 큰 수를 찾는데, 매력을 느끼지 못했다. 나는 그가 왜 처음으로 에베레스트산에 오를 때 유용함이 아닌 호기심으로 빨리 달리거나 멀리 뛰려고 했는지 궁금하다. 즉....쓸데없는 짓 했다는 거죠....  그래도 수학사적으로는 의의가 있을 수도 있죠.

Illinois대학에서 23번째 메르센 소수가 발견된 이후 수학분야에서는 지랑스러운 나머지 그들의 우편물에는 "은 소수다" 라는 소인을 붙여 사용했다. 25, 26번째 메르센  소수가 니켈Laura Nickel과 커트놀Landon Curt Noll이라는 수학을 잘 모르던 고등학생에게 발견되었고, Lucas의 간단한 테스트에 다음 두 소수을 찾기위해 이용됬다. 그들의 첫 번재 소수발견은 세계의 뉴스와 뉴욕타임스의 머릿기사가 되었다. 그들은 첫 번째 소수의 발견이후 다른 길을 갔는데, Noll은 계속 두 번째 것을 찾기 위해 프로그램 부문에서 일을 했다.-그래서 Noll은 완전한 소유자가 되었다. Noll은 후에도 소수를 찾으려 했지만, 다른 메르센 소수를 찾지 못했고, 그렇지만 그는 가장 큰 비메르센 소수를 찾은 일원이 되었다.

 추측과 풀려지지 않은 문제

홀수 완전수는 존재할까?

우리는 짝수 완전수가 메르센 소수Mersenne Prime와 2의 거듭제곱의 곱으로 된다는 것을 알고 있는데,(정리1) 홀수 완전수는 어떠한가? 만약 하나가 있다면 이것은 완전수의 소수의 홀수승의 제곱꼴이 된다. 이것은 최소한 8개의 소수로 나누어지고, 37개의 소수로 나누어진다.

셀수없이 많은 메르센 소수Mersenne Prime가 존재하는가?

다시 말해서 셀수없이 많은 짝수인 완전수가 존재하는가?  답은 Yes 일 것이다.. (이유는 조화 급수의 발산에 대한 문제라는 것만 밝히겠다.)

셀수없이 많은 메르센 합성수가 존재하는가?

오일러Euler에 의하면

정리: 만약 그리고 이 소수라면, 은 소수이다. 이것은 과 필요충분조건이된다.

그래서 만약 와 이 소수이면 메르센 수 은 합성수이다.(이것은 , 과 같은 많은 소수 쌍이 셀수 없이 많이 존재하기 때문에 이 추측은 맞는 것처럼 보인다.)

새로운 메르센 추측

Bateman, Selfridge, Wagstaff는 다음과 같은 추측을 하였다.

어떤 홀수인 자연수를 라고 한다. 다음의 두가지 경우가 성립하면 세 번째 경우도 성립한다.

 1.    또는  

 2. 은 소수이다. (명백히 메르센 소수이다.)

 3. 는 소수이다.

 이 추측은 <100,000인 모든 소수들은 증명되었다.

더 많은 double-메르센 소수가 존재하는가?

오래전부터 해오던 또다른 잘못된 생각은 가 소수이면  도 소수일 거라는 생각이다. 이런 수는 (double-메르센)이라고 부른다. 실제로 처음 네 가지는 각각 소수이다.

=

= ,

=

=

그러나, 다음 네 가지 (, , , ) 는 모두 알려진 인수를 가진다. 그래서 합성수이다. 이런 과정으로 더 많은 소수를 찾을 수 있는가? 아마 없을 것이다. 그러나 그것은 여전히 풀리지 않은 문제가 남아있다. 토니 포브스 (Tony Forbes)는 형태의 인수를 찾는 계획을 이끌었다.