메르센 소수 목록과 풀리지 않은 수수께끼

<이때까지 알려진 메르센 소수 목록>

   , 로 두면..... 알려진 소수 p에 대한 메르센 소수 의 목록이다. (따라서 는완전수이다)

#	p	의 자리수	의 자리수	발견년도	발견자
1	2	1	1	----	----
2	3	1	2	----	----
3	5	2	3	----	----
4	7	3	4	----	----
5	13	4	8	1456	anonymous
6	17	6	10	1588	Cataldi
7	19	6	12	1588	Cataldi
8	31	10	19	1772	Euler
9	61	19	37	1883	Pervushin
10	89	27	54	1911	Powers
11	107	33	65	1914	Powers
12	127	39	77	1876	Lucas
13	521	157	314	1952	Robinson
14	607	183	366	1952	Robinson
15	1279	386	770	1952	Robinson
16	2203	664	1327	1952	Robinson
17	2281	687	1373	1952	Robinson
18	3217	969	1937	1957	Riesel
19	4253	1281	2561	1961	Hurwitz
20	4423	1332	2663	1961	Hurwitz
21	9689	2917	5834	1963	Gillies
22	9941	2993	5985	1963	Gillies
23	11213	3376	6751	1963	Gillies
24	19937	6002	12003	1971	Tuckerman
25	21701	6533	13066	1978	Noll & Nickel
26	23209	6987	13973	1979	Noll
27	44497	13395	26790	1979	Nelson & Slowinski
28	86243	25962	51924	1982	Slowinski
29	110503	33265	66530	1988	Colquitt & Welsh
30	132049	39751	79502	1983	Slowinski
31	216091	65050	130100	1985	Slowinski
32	756839	227832	455663	1992	Slowinski & Gage
33	859433	258716	517430	1994	Slowinski & Gage
34	1257787	378632	757263	1996	Slowinski & Gage
35	1398269	420921	841842	1996	Armengaud, Woltman, et. al. (GIMPS)
36	2976221	895932	1791864	1997	Spence, Woltman,et. al. (GIMPS)
37	3021377	909526	1819050	1998	Clarkson, Woltman, Kurowskiet. al. (GIMPS, PrimeNet)
??	6972593	2098960	4197919	1999	Hajratwala, Woltman, Kurowskiet. al. (GIMPS, PrimeNet)
??	13466917	4053496	8107892	2001	Cameron, Woltman, Kurowskiet. al. (GIMPS, PrimeNet)

 

  Lucas-Lehmer 테스트와 최근의 역사

메르센 소수(그리고 그에 따른 완전수)는 다음에 오는 정리를 이용해 알 수 있다.

Lucas-Lehmer 테스트: 이고, S(1)=4 에 대해서, p가 홀수일 때, 이 S(p-1)을 나눌때만 이 메르센 소수가 된다.

 

이 테스트 이론은 1870년 후반 루카스Lucas에 의해 만들어졌고, 레머Lehmer에 의해 간단한 형태로 만들어졌다. 시간을 아끼기 위해 에 대한 수열 S(n)을 나눈 나머지 값이 계산된다. 이 테스트는 이진법 컴퓨터에 이상적인데, 에 의해 나눠진 값이 순환과 더하기를 통해 계산되기 때문이다.

 1811년 발로우Peter Barlow는 그의 저서 Theory of number에서 이 발견된  제일 큰 완전수라고 말했다; 이것들은 단지 유용한 것이 아닌 호기심이었기 때문에 어느 누구도 이보다 큰 수를 찾는데, 매력을 느끼지 못했다. 나는 그가 왜 처음으로 에베레스트산에 오를 때 유용함이 아닌 호기심으로 빨리 달리거나 멀리 뛰려고 했는지 궁금하다. 즉....쓸데없는 짓 했다는 거죠....  그래도 수학사적으로는 의의가 있을 수도 있죠.

 

Illinois대학에서 23번째 메르센 소수가 발견된 이후 수학분야에서는 지랑스러운 나머지 그들의 우편물에는 "은 소수다" 라는 소인을 붙여 사용했다. 25, 26번째 메르센  소수가 니켈Laura Nickel과 커트놀Landon Curt Noll이라는 수학을 잘 모르던 고등학생에게 발견되었고, Lucas의 간단한 테스트에 다음 두 소수을 찾기위해 이용됬다. 그들의 첫 번재 소수발견은 세계의 뉴스와 뉴욕타임스의 머릿기사가 되었다. 그들은 첫 번째 소수의 발견이후 다른 길을 갔는데, Noll은 계속 두 번째 것을 찾기 위해 프로그램 부문에서 일을 했다.-그래서 Noll은 완전한 소유자가 되었다. Noll은 후에도 소수를 찾으려 했지만, 다른 메르센 소수를 찾지 못했고, 그렇지만 그는 가장 큰 비메르센 소수를 찾은 일원이 되었다.

 

 추측과 풀려지지 않은 문제

 

홀수 완전수는 존재할까?

우리는 짝수 완전수가 메르센 소수Mersenne Prime와 2의 거듭제곱의 곱으로 된다는 것을 알고 있는데,(정리1) 홀수 완전수는 어떠한가? 만약 하나가 있다면 이것은 완전수의 소수의 홀수승의 제곱꼴이 된다. 이것은 최소한 8개의 소수로 나누어지고, 37개의 소수로 나누어진다.

셀수없이 많은 메르센 소수Mersenne Prime가 존재하는가?

다시 말해서 셀수없이 많은 짝수인 완전수가 존재하는가?  답은 Yes 일 것이다.. (이유는 조화 급수의 발산에 대한 문제라는 것만 밝히겠다.)

셀수없이 많은 메르센 합성수가 존재하는가?

 

오일러Euler에 의하면

정리: 만약 그리고 이 소수라면, 은 소수이다. 이것은 과 필요충분조건이된다.

그래서 만약 와 이 소수이면 메르센 수 은 합성수이다.(이것은 , 과 같은 많은 소수 쌍이 셀수 없이 많이 존재하기 때문에 이 추측은 맞는 것처럼 보인다.)

 

새로운 메르센 추측

 

Bateman, Selfridge, Wagstaff는 다음과 같은 추측을 하였다.

어떤 홀수인 자연수를 라고 한다. 다음의 두가지 경우가 성립하면 세 번째 경우도 성립한다.

 1.    또는  

 2. 은 소수이다. (명백히 메르센 소수이다.)

 3. 는 소수이다.

 이 추측은 <100,000인 모든 소수들은 증명되었다.

 

더 많은 double-메르센 소수가 존재하는가?

 

오래전부터 해오던 또다른 잘못된 생각은 가 소수이면  도 소수일 거라는 생각이다. 이런 수는 (double-메르센)이라고 부른다. 실제로 처음 네 가지는 각각 소수이다.

=

= ,

=

=

그러나, 다음 네 가지 (, , , ) 는 모두 알려진 인수를 가진다. 그래서 합성수이다. 이런 과정으로 더 많은 소수를 찾을 수 있는가? 아마 없을 것이다. 그러나 그것은 여전히 풀리지 않은 문제가 남아있다. 토니 포브스 (Tony Forbes)는 형태의 인수를 찾는 계획을 이끌었다.