소수에 대한 증명되지 않은 추측...

골드바흐의 추측 ( Goldbach's Conjecture ) 2보다 큰 모든 짝수( n > 2 )는 두 소수의 합으로 나타내어 질 수 있다.

1742년, 페터 2세Peter Ⅱ(당시 그는 10대 소년이었다)의 가정교사였던 크리스티안 골드바흐Christian Goldbach가 스위스 최고의 수학자 레온하르트 오일러Leonhard Euler에게 보낸 편지에서 발견되었다. 골드바흐는 짝수들을 나열해 놓고 이런 저런 계산을 하던 중 모든 짝수는 소수 두 개의 합으로 표현될 수 있음을 알게 되었다.    4 = 2 + 2    8 = 3 + 5    10 = 5 + 5    50 = 19 + 31    100 = 53 + 47    210,000 = 17 + 20,293   골드바흐는 이것이 모든 짝수에 대하여 일반적으로 성립하는 성질인지를 오일러에게 물었다. '분석의 화신'이라 불리던 오일러는 이 질문에 답하기 위해 수년 동안 갖은 방법을 다 써보았지만 만족할 만한 답을 찾아내지 못했다.   <골드바흐의 추론>이라 불리는 이 문제는 현대의 컴퓨터로 계산해 본 결과 100,000 이하의 짝수에 대하여 성립한다고 알려져 있으나, 무한히 많은 짝수들이 모두 소수 두 개의 합으로 표현되는지는 아직 증명되지 않았다. 모든 짝수들이 800,000개 이내의 소수들의 합으로 표현된다는 것이 증명되어 있긴 하지만, 이것으로 <골드바흐의 추론>을 증명하기에는 약간의 거리가 있지만 이 증명은 자체만으로도 소수의 성질에 대하여 깊은 이해를 가져다 주었다.

골드바흐의 홀수 추측 ( Odd Goldbach Problem ) 5보다 큰 모든 홀수 ( n > 5 )는 세 소수의 합으로 나타내어 질 수 있다.

골드바흐 추측의 다른 모양을 생각해 볼 수 있다. 위의 경우와 비슷한 꼴인 모양으로 소수들이 표현될 수 있음을 알 수 있다.    7 = 2 + 2 + 3    21 = 3 + 5 + 13   유심히 들여다 보면, 임의의 홀수 n (n>5)에 대해 n-3을 생각해 보면, 그 수는 짝수가 되고 위의 골드바흐의 짝수 추측과 같은 꼴이 됨을 알 수 있다.   이 문제 역시 여전히 추측일 뿐이며, 1937년에 이반 비노그라도프Ivan Vinogradov는 '큰' 홀수에 대해 이 추측이 성립함을 증명했다.(그는 이 공로로 스탈린Stalin으로부터 훈장과 상금을 받게 된다.) 1956년에는 보로즈킨Borozkin이 보다 큰 홀수에 대해 성립함을 증명했고, 1989년에는 첸Chen과 왕Wang이 그 경계를 까지 낮추었다. 이 경계는 컴퓨터를 사용해서 모든 경우에 적용해 알아내기 이전에 아름다운 논리로 무장한 수학적인 방법으로 밝혀져야 한다.

쌍둥이 소수 추측 ( Twin Prime Conjecture ) 쌍둥이 소수는 무한히 존재한다.

쌍둥이 소수는 일반적인 소수와 마찬가지로 무한히 계속될 것이라고 추측되었는데, 1919년에 브룬Brun은 쌍둥이 소수들의 역수의 합이 브룬 상수Brun's Constant 라고 부르는 일정한 값으로 수렴함을 보였으나, 여전히 쌍둥이 소수의 무한성에 대해서는 증명이 되지 않은 상태이다. 브룬 상수Brun's Constant는 나이슬리Thomas Nicely에 의해 까지의 쌍둥이 소수에 대해서 1.902160578이 됨이 밝혀졌고, 최근의 계산에 따르면, 까지의 쌍둥이 소수에 대해서는 1.90216057824가 되는 것으로 알려져 있다.